група ІІ

Арифметична прогресія

Числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому,  до якого додане одне і те саме число, називається   арифметичною прогресією. Це число d називають різницею арифметичної прогресії. Формула n-го члена арифметичної прогресії: an = a1 + d (n-1), n - будь - яке натуральне число. Для арифметичної прогресії:  Сума n перших членів арифметичної прогресії:  . Якщо d > 0, то прогресія зростаюча, при d < 0 — спадна.  Якщо d=0, то всі члени прогресії рівні між собою. Вивчення таких прогресій не становить інтересу. Властивості арифметичної прогресії 1) Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого номера є середнім арифметичним від попереднього та наступного члена прогресії Обернене твердження також вірне. Якщо середнє арифметичне сусідніх непарних (парних) членів прогресії рівне члену, який стоїть між ними то дана послідовність чисел є арифметичною прогресією. За цим твердженням дуже просто перевірити будь-яку послідовність. Також за властивістю арифметичної прогресії, наведену вище формулу можна узагальнити до наступної В цьому легко переконатися, якщо розписати доданки справа від знака рівності Її часто застосовують на практиці для спрощення обчислень в задачах. 2) Суму n перших членів арифметичної прогресії обчислюють за формулою Запам'ятайте добре формулу суми арифметичної прогресії, вона незамінна при обчисленнях та досить часто зустрічається в простих життєвих ситуаціях. 3) Якщо потрібно знайти не всю суму, а частину послідовності починаючи зk-го її члена, то в нагоді Вам стане наступна формула суми 4) Практичний інтерес має відшукання суми n членів арифметичної прогресії починаючи з k-го номера. Для використовуйте формулу На цьому теоретичний матеріал добігає кінця і переходимо до розв'язування поширених на практиці задач. Задачі на арифметичну прогресію Приклад 1. Знайти сороковий член арифметичної прогресії 4;7;... Розв'язання: Згідно умови маємо Визначимо різницю прогресії За відомою формулою знаходимо              -------------------------------------- Приклад 2. Арифметична прогресія задана третім та сьомим її членом .  Знайти перший член прогресії та суму десяти. Розв'язання: Розпишемо задані елементи прогресії за формулами Від другого рівняння віднімемо перше, в результаті знайдемо різницю прогресії Знайдене значення підставляємо в любе із рівнянь для відшукання першого члена арифметичної прогресії Обчислюємо суму перших десяти членів прогресії Всі шукані величини знайдені.