група IV

Із глибини віків

Історичні задачі на прогресії

Числові послідовності – явище, без перебільшення, унікальне. Історія їх виникнення губиться в глибині віків. Вже у клинописних табличках вавилонян, у єгипетських папірусах, датованих ІІ тисячоліттям до н.е., зустрічаються задачі на арифметичну і геометричну прогресії. Впродовж століть людей приваблювала внутрішня гармонія і краса числових рядів. Давайте помандруємо з вами у глибину віків, зокрема у Стародавній Єгипет та Італію.

            Вивчаючи питання, ми дізналися, що термін «прогресія» запровадив римський вчений Боецій (VІ ст.. ), від лат. « рух уперед» . 

               

                                            Папірус Рінда

             Найдавнішою відомою задачею на використання прогресії вважається задача про поділ хліба з так званого папірусу Рінда. Звучить вона приблизно таким чином: 100 мір хліба потрібно розділити між пятьма чоловіками таким чином, щоб другий отримав на стільки ж більше ніж перший, на скільки третій отримав більше другого, четвертий більше третього і п'ятий більше четвертого. Крім того, двоє перших мають отримати в 7 разів меньше трьох інших. Скількі потрібно дати кожному?

Розв'язування:  Очевидно, що кількість хліба, отриманого чоловіками, являє собою зростаючу арифметичну прогресію. Де перший її член х, а різниця y. Тоді отримаємо: доля першого  х, доля другого  х + у, доля третього х + 2y,

 доля четвертого х + 3y, доля п'ятого  х + 4y.

Отримаємо систему рівнянь і після її розв'язування отримаємо відповідь.  

Задача про кицьок, мишей та ячмінь

Ось іще одна дуже відома задача з того ж папірусу:  «У семи людей по сім кицьок; кожна кицька з'їдає по сім мишей, кожна миша з'їдає по сім колосків, з кожного колоска може вирости по сім мір ячменю. На  скільки великі числа цього ряду та їх сума?»

       Ця ж задача багато разів з різними варіаціями повторювалась і у інших народів в інші часи. Наприклад, у книзі XIII ст. «Книга абакa» Леонардо Пізанського(Фібоначчи) є задача, в якій фігурують 7 старух, що направились до Риму (імовірно, паломниць), у кожної з яких 7 мулів, на кожному з яких по 7 мішків, і в кожному з яких по 7 хлібів, в кожному з яких по 7 ножів, і кожен з яких в 7 ножнах. В задачі питають, скільки всього предметів.

  Дослідники стверджують, давні вавілоняни також добре були знайомі з обома прогресіями.

Легенда  про шахи

 Безумовно найвідомішою із старовинних задач на прогресії безумовно є легенда про винайдення шахів. Астрономічна  сума, яку згідно домовленості мали видати у нагороду старцю просто приголомшує Ця задача яскраво представляє характер геометричної послідовності.

 Царю дуже сподобалися шахи і він обіцяв винахідникові  гри велику нагороду. Винахідник запросив дати йому за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, а за кожну наступну клітину – в двічі більше, ніж за попередню. Цар здивувався, що винахідник так мало заплатив.

  Коли ж прийшов час сплатити таку вартість, виявилося, що такої кількості зерна не існує у всьому світі.

Сума чисел від 1 до 100

Також відома цікава легенда про дитинство Карла Фрідріха Гауса. Згідно з цією легендою, шкільний вчитель математики, щоб завантажити дітей на тривалий час, запропонував їм підрахувати суму чисел від 1 до 100. Маленький Гаус помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: 1+100=101, 2+99=101 і т. д., і миттєво отримав результат: 50*101=5050.

Задача про кроликів

Італійський купець  і  мандрівник , син  міського писаря , Леонардо із Пізи (1180-1240р.), більш відомий  під прізвищем Фібоначчі ,був одним із  найвідоміших  математиків середньовіччя. Роль його книг  у розвитку  математики  і  поширенню  у  Європі математичних  знань  важко переоцінити. Життя  і  наукова кар’єра Леонардо тісно  пов’язані  з розвитком  європейської  культури і науки.  При розв’язуванні однієї  задачі про можливість кількості народження кроликів від однієї  пари через рік, він одержав  ряд чисел:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55… Особливістю цієї послідовності чисел є те, що кожний її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх, а відношення  сусідніх чисел ряду наближається  до відношення золотого перерізу, який дуже  хвилював голови того часу.

Задачі з “Арифметики “ Л.Магницького

Артіль копачів

      Артіль копачів погодилася викопати канаву. Якби артіль працювала в повному складі, канаву викопали б за 24 години. Але в дійсності до роботи спочатку приступив один копач. Через деякий час приєднався другий, іще через стільки ж часу – третій, за ним четвертий і так до останнього.

     Під час розрахунку було встановлено, що перший працював в 11 разів довше ніж останній.

Як мужик коня продавав

Господар продавав коня. Він просив за коня 1000 карб. Купець відповів, що ціна занадто висока.Тоді господар запросив заплатити лише за гвіздки у його підковах.  У кожній підкові 6 гвіздків.  Господар просив: за  перший гвіздок  - 1 копійку, за другу — 2 коп., за третій — 4 коп. і далі за всі гвіздки: за кожен гвіздок в двічі більше, ніж за попередній.