група ІІІ

Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називається така числова послідовність , кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те ж саме стале для даної послідовності число, відмінне від нуля. Перший член геометричної прогресії передбачається відмінним від нуля.  називається п-им членом геометричної прогресії.

З визначення геометричної прогресії випливає, що . 

Число  називається знаменником геометричної прогресії. Таким чином,

 .

Для того, щоб задати геометричну прогресію , достатньо знати її перший член і знаменник.

Якщо  і , то геометрична прогресія є монотонною послідовністю. Якщо , то всі члени прогресії рівні між собою. У цьому випадку геометрична прогресія є сталою послідовністю, яка розглядається рідко.

Характеристичні властивості геометричної прогресії формулюються в такий спосіб:

а) у геометричній прогресії, усі члени якої додатні числа, будь-який її член, починаючи з другого, є середнім геометричним сусідніх з ним членів, тобто при 

;

б) добуток членів, рівновіддалених від кінців геометричної прогресії, є величиною сталою, тобто

 .

Формула п-го члена геометричної прогресії має вигляд

.

Формула для суми п перших членів геометричної прогресії має вигляд .

Задачі на геометричну прогресію

Приклад 1. Перший член геометричної прогресії дорівнює 16, а її знаменник рівний . Знайти сьомий член прогресії.

Розв’язання

За умовою, ; . Для знаходження сьомого члена даної прогресії скористаємося формулою п-го члена геометричної прогресії . Отже, .

Відповідь: .

Приклад 2. Дана геометрична прогресія : -2; 8; -32; 128; … . Знайти .

Розв’язання

Знаходимо спочатку знаменник прогресії: ; .

Відповідь: .

Приклад 3. У геометричній прогресії   . Знайти .

Розв’язання

Знайдемо спочатку знаменник прогресій q. За умовою ; ; ;

.

Відповідь: .